屋子里，徐云正在侃侃而谈

    “艾萨克先生，韩立爵士计算发现，二项式定理中指数为分数时，可以用ex&nbp;=&nbp;1+x+x2/2!+x3/3!+……+xn/n!+……来计算。文师阁 m.wenshige.com”

    说着徐云拿起笔，在纸上写下了一行字

    当n=0时，ex＞1。

    “艾萨克先生，这里是从x0开始的，用0作为起点讨论比较方便，您可以理解吧？”

    小牛点了点头，示意自己明白。

    随后徐云继续写道

    假设当n=时结论成立，即ex＞1+x/1!+x2/2!+x3/3!+……+x/!（x＞0）

    则ex-[1+x/1!+x2/2!+x3/3!+……+x/!]＞0

    那么当n=+1时，令函数f(+1)=ex-[1+x/1!+x2/2!+x3/3!+……+x(+1)/(+1)]!（x＞0）

    接着徐云在f(+1)上画了个圈，问道

    “艾萨克先生，您对导数有了解么？”

    小牛继续点了点头，言简意赅的蹦出两个字

    “了解。”

    学过数学的朋友应该都知道。

    导数和积分是微积分最重要的组成部分，而导数又是微分积分的基础。

    眼下已经时值1665年末，小牛对于导数的认知其实已经到了一个比较深奥的地步了。

    在求导方面，小牛的介入点是瞬时速度。

    速度=路程x时间，这是小学生都知道的公式，但瞬时速度怎么办?

    比如说知道路程=t2，那么t=2的时候，瞬时速度v是多少呢?

    数学家的思维，就是将没学过的问题转化成学过的问题。

    于是牛顿想了一个很聪明的办法

    取一个”很短”的时间段△t&nbp;，先算算t=&nbp;2到t=2+△t&nbp;这个时间段内，平均速度是多少。

    v=/t=（4△t+△t2）/△t=4+△t。

    当△t&nbp;越来越小，2+△t就越来越接近2&nbp;，时间段就越来越窄。

    △t&nbp;越来越接近0时，那么平均速度就越来越接近瞬时速度。

    如果△t小到了0&nbp;，平均速度4+△t就变成了瞬时速度4。

    当然了。

    后来贝克莱发现了这个方法的一些逻辑问题，也就是△t到底是不是0。

    如果是0，那么计算速度的时候怎么能用△t做分母呢？鲜为人咳咳，小学生也知道0不能做除数。

    到如果不是0，4+△t就永远变不成4，平均速度永远变不成瞬时速度。

    按照现代微积分的观念，贝克莱是在质疑i△t→0是否等价于△t=0。

    这个问题的本质实际上是在对初生微积分的一种拷问，用“无限细分”这种运动、模糊的词语来定义精准的数学，真的合适吗？

    贝克莱由此引发的一系列讨论，便是赫赫有名的第二次数学危机。

    甚至有些悲观党宣称数理大厦要坍塌了，我们的世界都是虚假的——然后这些货真的就跳楼了，在奥地利还留有他们的遗像，也不知道是用来被人瞻仰还是鞭尸的。

    这件事一直到要柯西和魏尔斯特拉斯两人的出现，才会彻底有了解释与定论，并且真正定义了后世很多同学挂的那棵树。

    但那是后来的事情，在小牛的这个年代，新生数学的实用性是放在首位的，因此严格化就相对被忽略了。

    这个时代的很多人都是一边利用数学工具做研究，一边用得出来的结果对工具进行改良优化。

    偶尔还会出现一些倒霉蛋算着算着，忽然发现自己这辈子的研究其实错了的情况。

    总而言之。

    在如今这个时间点，小牛对于求导还是比较熟悉的，只不过还没有归纳出系统的理论而已。

    徐云见状又写到

    对f(+1)求导，可得f(+1)''''''''=ex-1+x/1!+x2/2!+x3/3!+……+x/!

    由假设知f(+1)''''''''＞0

    那么当x=0时。

    f(+1)=e0-1-0/1!-0/2!--0/+1!=1-1=0

    所以当x＞0时。

    因为导数大于0，所以f(x)＞f(0)=0

    所以当n=+1时f(+1)=ex-[1+x/1!+x2/2!+x3/3!+……+x(+1)/(+1)]!（x＞0）成立！

    最后徐云写到

    综上所属，对任意的n有

    ex＞1+x/1!+x2/2!+x3/3!+……+xn/n!（x＞0）

    论述完毕，徐云放下钢笔，看向小牛。

    只见此时此刻。

    这位后世物理学的祖师爷正瞪大着那一双牛眼，死死地盯着面前的这张草稿纸。

    诚然。

    以目前小牛的研究进度，还不太好理解切线与面积的真正内在含义。

    但了解数学的人都知道，广义二项式定理其实就是复变函数的泰勒级数的特殊情形。

    这个级数与二项式定理是兼容的，系数符号也是与组合符号兼容的。

    所以二项式定理可以由自然数幂扩充至复数幂，组合定义也可以由自然数扩充至复数。

    只不过徐云在这里留了一手，没有告知小牛n为负数的时候就是无穷级数这件事。

    因为按照正常的历史线，无穷小量可是出自小牛之手，推导的过程还是交给他本人就好了。